Пример нахождения обратной матрицы

Чем сложнее задача, тем больше оснований, сейчас же приступить к ней

Войнич Э.Л. Овод

Выполним лабораторные работы в Excel, Word, PowerPoint
Выполним работы в Maple, Mathcad, Mathematica, Statistica
Поможем выполнить работы по математике школьникам и студентам
Заказ курсовых и рефератов по истории, праву, физике, психологии и др.

Для просмотра страницы необходимо ознакомиться с записью выражений по математике на нашем сайте. Например, запись stackrel"(1)"~ эквивалентна тому, что пишем над волнистой линией (тильдой) единицу в скобках.

Для решения Вашего задания на нахождение обратной матрицы с помощью нашего онлайн калькулятора, перейдите на страницу "Обратная матрица - нахождение". Для просмотра других примеров, перейдите по ссылкам "Пример 2", "Пример 3". Рассмотрим пример.

Задание. Методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований) найти обратную к матрице `((1, -2, 3, 1) , (2, -2, 1, 2) , (-4, 12, 0, 1) , (-2, 0, 2, 3) )`.

Присоединим к исходной таблице `((1, -2, 3, 1) , (2, -2, 1, 2) , (-4, 12, 0, 1) , (-2, 0, 2, 3) )` единичную и преобразуем новую таблицу `((1, -2, 3, 1, 1, 0, 0, 0) , (2, -2, 1, 2, 0, 1, 0, 0) , (-4, 12, 0, 1, 0, 0, 1, 0) , (-2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 1) )` с помощью элементарных преобразований (методом Гаусса).

`((1, -2, 3, 1, 1, 0, 0, 0) , (2, -2, 1, 2, 0, 1, 0, 0) , (-4, 12, 0, 1, 0, 0, 1, 0) , (-2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 1) )` `stackrel"(1)"~` `((1, -2, 3, 1, 1, 0, 0, 0) , (0, 2, -5, 0, -2, 1, 0, 0) , (-4, 12, 0, 1, 0, 0, 1, 0) , (-2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 1) )` `stackrel"(2)"~` `((1, -2, 3, 1, 1, 0, 0, 0) , (0, 2, -5, 0, -2, 1, 0, 0) , (0, 4, 12, 5, 4, 0, 1, 0) , (-2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 1) )` `stackrel"(3)"~` `((1, -2, 3, 1, 1, 0, 0, 0) , (0, 2, -5, 0, -2, 1, 0, 0) , (0, 4, 12, 5, 4, 0, 1, 0) , (0, -4, 8, 5, 2, 0, 0, 1) )` `stackrel"(4)"~` `((1, -2, 3, 1, 1, 0, 0, 0) , (0, 2, -5, 0, -2, 1, 0, 0) , (0, 0, 22, 5, 8, -2, 1, 0) , (0, -4, 8, 5, 2, 0, 0, 1) )` `stackrel"(5)"~` `((1, -2, 3, 1, 1, 0, 0, 0) , (0, 2, -5, 0, -2, 1, 0, 0) , (0, 0, 22, 5, 8, -2, 1, 0) , (0, 0, -2, 5, -2, 2, 0, 1) )` `stackrel"(6)"~` `((1, -2, 3, 1, 1, 0, 0, 0) , (0, 2, -5, 0, -2, 1, 0, 0) , (0, 0, 22, 5, 8, -2, 1, 0) , (0, 0, 0, 60, -14, 20, 1, 11) )`

(1) вычитаем из строки 2, умноженную на число 1, строку 1, умноженную на число 2
(2) прибавляем к строке 3, умноженную на число 1, строку 1, умноженную на число 4
(3) прибавляем к строке 4, умноженную на число 1, строку 1, умноженную на число 2
(4) вычитаем из строки 3, умноженную на число 1, строку 2, умноженную на число 2
(5) прибавляем к строке 4, умноженную на число 1, строку 2, умноженную на число 2
(6) прибавляем к строке 4, умноженную на число 11, строку 3, умноженную на число 1

`((60, 0, 0, 0, -14, 20, 1, 11) , (5, 22, 0, 0, 8, -2, 1, 0) , (0, -5, 2, 0, -2, 1, 0, 0) , (1, 3, -2, 1, 1, 0, 0, 0) )` `stackrel"(1)"~` `((60, 0, 0, 0, -14, 20, 1, 11) , (0, 264, 0, 0, 110, -44, 11, -11) , (0, -5, 2, 0, -2, 1, 0, 0) , (1, 3, -2, 1, 1, 0, 0, 0) )` `stackrel"(2)"~` `((60, 0, 0, 0, -14, 20, 1, 11) , (0, 264, 0, 0, 110, -44, 11, -11) , (0, -5, 2, 0, -2, 1, 0, 0) , (0, 180, -120, 60, 74, -20, -1, -11) )` `stackrel"(3)"~` `((60, 0, 0, 0, -14, 20, 1, 11) , (0, 264, 0, 0, 110, -44, 11, -11) , (0, 0, 528, 0, 22, 44, 55, -55) , (0, 180, -120, 60, 74, -20, -1, -11) )` `stackrel"(4)"~` `((60, 0, 0, 0, -14, 20, 1, 11) , (0, 264, 0, 0, 110, -44, 11, -11) , (0, 0, 528, 0, 22, 44, 55, -55) , (0, 0, -2640, 1320, -22, 220, -187, -77) )` `stackrel"(5)"~` `((60, 0, 0, 0, -14, 20, 1, 11) , (0, 264, 0, 0, 110, -44, 11, -11) , (0, 0, 528, 0, 22, 44, 55, -55) , (0, 0, 0, 1320, 88, 440, 88, -352) )`

(1) вычитаем из строки 2, умноженную на число 12, строку 1, умноженную на число 1
(2) вычитаем из строки 4, умноженную на число 60, строку 1, умноженную на число 1
(3) прибавляем к строке 3, умноженную на число 264, строку 2, умноженную на число 5
(4) вычитаем из строки 4, умноженную на число 22, строку 2, умноженную на число 15
(5) прибавляем к строке 4, умноженную на число 1, строку 3, умноженную на число 5

Из матрицы `((1320, 0, 0, 0, 88, 440, 88, -352) , (0, 528, 0, 0, 22, 44, 55, -55) , (0, 0, 264, 0, 110, -44, 11, -11) , (0, 0, 0, 60, -14, 20, 1, 11) )` находим обратную (делаем так, чтобы диагональные элементы были равны 1; для этого делим каждую строку на соответствующий ей диагональный элемент).
Ответ: `((1/15 , 1/3 , 1/15 , -4/15) , (1/24 , 1/12 , 5/48 , -5/48) , (5/12 , -1/6 , 1/24 , -1/24) , (-7/30 , 1/3 , 1/60 , 11/60) )`

Как Вы видите, при нахождении необходимо проделать много вычислений, чтобы добиться результата. Поэтому, для экономии времени при решении заданий, мы рекомендуем Вам воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Также, используя наш калькулятор, исключается возможность допуска Вами ошибок в ходе нахождения решения задания "вручную".