Решение контрольных работ по информатике (программированию): Pascal, Delphi
Поможем сдать экзамен, написать контрольную, курсовую, реферат по математике

Произведение векторов - смешанное, векторное

Для просмотра статьи желательно ознакомиться с правилами записи выражений по аналитической геометрии и алгебре, например, `vec{x}` означает, что над икс пишется стрелочка, вместо vec может быть написано bar - это уже не стрелочка, а горизонтальная черта (чёрточка) над икс.

Смотрите также решённые задачи по алгебре и геометрии и бесплатные рефераты по алгебре и аналитической геометрии.

В курсе высшей алгебры и аналитической геометрии по математике студенты изучают скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Смешанное

Смешанное произведение будем вычислять для трех векторов `vec{a}`, `vec{b}`, `vec{c}`. Оно равно определителю, составленному из координат данных векторов, например, для `bar{a} (1; 1; 1)`, `bar{b} (-1; 2; 3)`, `bar{c} (2; -1; -3)`
`(vec{a}, vec{b}, vec{c})` = `det((1, 1, 1), (-1, 2, 3), (2, -1, -3))`.

Вычисляя определитель, получим `d` = `det((1, 1, 1), (-1, 2, 3), (2, -1, -3))` = -3.

Объём параллелепипеда, построенного на `vec{a}`, `vec{b}`, `vec{c}` равен `V` = mod(`d`) = mod(-3) = 3, то есть модулю (абсолютной величине) смешанного произведения; тогда объём треугольной пирамиды (тетраэдра) `V_{тетр}` = `1/6 V` = `3/6` = `1/2`, так как параллелепипед состоит из 6 тетраэдров.

Данный вид произведения можно применить для проверки компланарности: если оно равно нулю, то векторы лежат в одной плоскости (компланарны). Если даны четыре точки (например, A, B, C, D), то, образовав из них три вектора (выходящих из одной точки, например, AB, AC, AD), то можно проверить лежат ли 4 точки в одной плоскости.

Векторное

Результатом нахождения векторного произведения является вектор, например, `vec{c}` = `vec{a} xx vec{b}` = `[vec{a}, vec{b}]` = (ort, `vec{a}`, `vec{b}`), где ort - это орты `vec{i}`, `vec{j}`, `vec{k}` (`xx` - знак умножения на нашем сайте - крестик, a x b).

Вычислим векторное произведение для `bar{a} (1; 1; 1)`, `bar{b} (-1; 2; -2)`.

`vec{c}` = `det((bar{i}, bar{j}, bar{k}), (1, 1, 1), (-1, 2, -2))` = `-4bar{i}` + `bar{j}` + `3bar{k}`, то есть `vec{c}` (-4; 1; 3) - координаты равны коэффициентам перед ортами.

По определению `vec{a} xx vec{b}` = `mod(a)` · `mod(b)` · `sin(vec{a}, vec{b})`. Если `vec{c}` = `vec{a} xx vec{b}`, то `vec{c} _|_ vec{a}` и `vec{c} _|_ vec{b}`. А раз `vec{c}` перпендикулярен `vec{a}` и `vec{b}`, то `vec{c}` является нормальным вектором плоскости, проходящей через `vec{a}` и `vec{b}`.

Скалярное произведение `vec{a} · vec{b}` = `(vec{a}, vec{b})` = `mod(a)` · `mod(b)` · `cos(vec{a}, vec{b})`, в координатной форме - сумма произведений соответствующих координат, например, для `bar{a} (1; 2; 3)`, `bar{b} (4; 5; 6)`, `vec{a} · vec{b}` = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 4 + 10 + 18 = 32.

Вы можете задать вопрос по аналитической геометрии или заказать решение контрольных работ и ИДЗ по аналитической геометрии.

Все права защищены 2008-2012 © calc-x.com - матрицы, определители, системы

Напишем программы на Pascal, Delphi

Заказать реферат по экономике, педагогике, социологии, химии

Выполнение типовых расчетов по математике (Кузнецов, Рябушко, Демидович, Минорский, Проскуряков и др.)

Решение домашних заданий школьной и высшей математики (Погорелов, Атанасян, Дорофеев, Сканави, Данко, Берман, Гмурман и др.)